Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，过点B(6，0)的直线AB与y轴相交于点C(0，6)，与直线OA相交于点A且点A的纵坐标为2， 动点P沿路线运动.

（1）求直线BC的解析式；

（2）在y轴上找一点M，使得△MAB的周长最小，则点M的坐标为______；（请直接写出结果）

（3）当△OPC的面积是△OAC的面积的时，求出这时P的坐标.

Answer 1

【答案】（1）BC解析式为；（2）M（0，）；（3）点P的坐标为(1，)或(1，5).

【解析】

（1）设直线BC的解析式是y=kx+b，把B、C的坐标代入，求出k、b即可；
（2）先确定出点M的位置，进而求出直线AB'的解析式即可得出结论；
（3）分为两种情况：①当P在OA上，此时OP：AO=1：4，根据A点的坐标求出即可；
②当P在AC上，此时CP：AC=1：4，求出P即可．

（1）设直线BC的解析式是y=kx+b，
根据题意得：
解得
则直线BC的解析式是：y=-x+6；
（2）如图，作点B（6，0）关于y轴的对称点B'，

∴B'（-6，0），
连接AB'交y轴于M，此时MA+MB最小，得到△MAB的周长最小
设直线AB'的解析式为y=mx+n，
∵A（4，2），
∴，
∴，
∴直线AB'的解析式为y=，
令x=0，
∴y= ，
∴M（0，），

（3）设OA的解析式是y=ax，则4a=2，
解得：a＝，
则直线的解析式是：y＝x，
①当P在OA上时，
∵当△OPC的面积是△OAC的面积的时，
∴P的横坐标是×4＝1，
在y＝x中，当x=1时，y＝，则P的坐标是(1，)；
②当P在AC上时，
∵△OPC的面积是△OAC的面积的，
∴CP：AP=1：5，
∵A（4，2）
∴在y=-x+6中，当x=1时，y=5，则P的坐标是（1，5），
∴P的坐标是：P1(1，)或P2(1，5)．