Question

【题目】如图，在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH=∠ABE+∠C.

其中正确的是（　　）

A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

①根据BD垂直FD，FH⊥BE和∠FGD=∠BGO，证明结论正确；

②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；

③证明∠DBE=∠BAC－∠C－∠DBE，根据①的结论，证明结论正确；

④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确.

①由题意可知，∠FDG=∠BOG=90°，

∵∠FGD=∠BGO，

∴∠DBE=∠F，故①正确；

②∵∠BAF=∠ABC+∠C=2∠EBC+∠C，

∴∠BAF+∠C=2(∠EBC+∠C)＝2∠BEF，故②正确；

③∵∠ABD=90°－∠BAC，

∴∠DBE=∠ABE－∠ABD=∠ABE－90°+∠BAC=∠CBD－∠DBE－90°+∠BAC，

∵∠CBD=90°－∠C，

∴∠DBE=∠BAC－∠C－∠DBE，

由①得，∠DBE=∠F，

∴∠F=∠BAC－∠C－∠F，

∴∠F=（∠BAC﹣∠C），故③正确；

④∵∠AEB=∠EBC+∠C，∠EBC =∠ABE，

∴∠AEB=∠ABE+∠C，

又∵BD⊥FC，∠DBE=∠F，

∴∠FGD=∠FEB，

∴∠BGH=∠FGD=∠FEB=∠ABE+∠C，故④正确；

故正确的是①②③④.

故选D.