Question

【题目】探究题

（1）理解证明：
如图1，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B，C在∠MAN的边AM，AN上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．证明△ABD≌△CAF；
（2）类比探究：
如图2，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；
（3）如图3，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为多少？

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵CF⊥AE，BD⊥AE，

∴∠ADB=∠CFA=90°，

∵∠MAN=90°，

∴∠ABD+∠BAD=90°，又∠CAF+∠BAD=90°，

∴∠ABD=∠CAF，

在△ABD和△CAF中，

，

∴△ABD≌△CAF；

（2）

证明：∵∠1=∠2，

∴∠ABE=∠CAF，

∵∠1=∠ABE+∠EAB，∠1=∠BAC，

∴∠ABE=∠CAF，

在△ABE和△CAF中，

，

∴△ABE≌△CAF；

（3）

∵△ABC的面积为15，CD=2BD，

∴△ABD的面积为15× =5，

由类比探究得，△ABE≌△CAF，

∴△ACF与△BDE的面积之和=△ABD的面积=5

【解析】理解证明：根据AAS证明△ABD≌△CAF；
类比探究：根据AAS证明即可；
拓展应用：利用类比探究的结论、三角形的面积公式计算即可．