Question

【题目】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DE平分∠ADB，∠BDC＝∠BCD．

（1）求证：∠1+∠2＝90°；

（2）若∠ABD的平分线与CD的延长线交于F，且∠F＝55°，求∠ABC；

（3）若H是BC上一动点，F是BA延长线上一点，FH交BD于M，FG平分∠BFH，交DE于N，交BC于G．当H在BC上运动时（不与B点重合），试判断∠BAD+∠DMH与∠DNG的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）70°；（3）∠BAD+∠DMH＝2∠DNG，理由见解析

【解析】

（1）由AD∥BC，DE平分∠ADB，得∠ADC+∠BCD=180°，∠BDC=∠BCD，得出∠1+∠2=90°；

（2）由DE平分∠ADB，CD平分∠ABD，四边形ABCD中，AD∥BC，∠F=55°，得出∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠ADB，即∠ABC=70°；

（3）在△BMF中，根据角之间的关系∠BMF=180°-∠ABD-∠BFH，得∠GND=180°-∠AED-∠BFG，再根据角之间的关系得∠BAD=∠GND+∠BFH-∠DBC，再综上得出答案．

（1）∵AD∥BC，

∴∠ADC+∠BCD＝180°，

∵DE平分∠ADB，

∴∠BDC＝∠BCD，

∴∠ADE＝∠EDB，

∠BDC＝∠BCD，

∵∠ADC+∠BCD＝180°，

∴∠EDB+∠BDC＝90°，

∴∠1+∠2＝90°；

（2）∵∠FBD+∠BDE＝90°﹣∠F＝35°，

∵DE平分∠ADB，BF平分∠ABD，

∴∠ADB+∠ABD＝2(∠FBD+∠BDE)＝70°，

又∵四边形ABCD中，AD∥BC，

∴∠DBC＝∠ADB，

∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠ADB，

即∠ABC＝70°；

故答案为：70°

（3）∵在△BMF中，∠BMF＝∠DMH＝180°﹣∠ABD﹣∠BFH，

又∵∠BAD＝180°﹣(∠ABD+∠ADB)，

∴∠DMH+∠BAD＝(180°﹣∠ABD﹣∠BFH)+(180°﹣∠ABD﹣∠ADB)＝360°﹣∠BFH﹣2∠ABD﹣∠ADB，

∴∠DNG＝∠FNE＝180°﹣∠BFH﹣∠AED＝180°﹣∠BFH﹣∠ABD﹣∠ADB＝(∠DMH+∠BAD)，

即∠BAD+∠DMH＝2∠DNG．

故答案为：∠BAD+∠DMH＝2∠DNG.