Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=DC，BC在x轴上，点A在y轴的正半轴上，点A，D的坐标分别为A（0，2），D（2，2），AB=2，连接AC．

（1）求出直线AC的函数解析式；

（2）求过点A，C，D的抛物线的函数解析式；

（3）在抛物线上有一点P（m，n）（n＜0），过点P作PM垂直于x轴，垂足为M，连接PC，使以点C，P，M为顶点的三角形与Rt△AOC相似，求出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+2；（2）y=﹣x2+x+2；（3）点P的坐标为（﹣4，﹣4）或（﹣10，﹣28）或（6，﹣4）．

【解析】

试题分析：（1）先在Rt△ABO中，运用勾股定理求出OB===2，得出B（﹣2，0），再根据等腰梯形的对称性可得C点坐标为（4，0），又A（0，2），利用待定系数法即可求出直线AC的函数解析式；

（2）设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，将A，C，D三点的坐标代入，利用待定系数法即可求出抛物线的函数解析式；

（3）先由点P（m，n）（n＜0）在抛物线y=﹣x2+x+2上，得出m＜﹣2或m＞4，n=﹣m2+m+2＜0，于是PM=m2﹣m﹣2．由于∠PMC=∠AOC=90°，所以当Rt△PCM与Rt△AOC相似时，有==或==2．再分两种情况进行讨论：①若m＜﹣2，则MC=4﹣m．由==，列出方程=，解方程求出m的值，得到点P的坐标为（﹣4，﹣4）；由==2，列出方程=2，解方程求出m的值，得到点P的坐标为（﹣10，﹣28）；②若m＞4，则MC=m﹣4．由==时，列出方程=，解方程求出m的值均不合题意舍去；由==2，列出方程=2，解方程求出m的值，得到点P的坐标为（6，﹣4）．

解：（1）由A（0，2）知OA=2，

在Rt△ABO中，∵∠AOB=90°，AB=2，

∴OB===2，

∴B（﹣2，0）．

根据等腰梯形的对称性可得C点坐标为（4，0）．

设直线AC的函数解析式为y=kx+n，

则，解得，

∴直线AC的函数解析式为y=﹣x+2；

（2）设过点A，C，D的抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c，

则，解得，

∴y=﹣x2+x+2；

（3）∵点P（m，n）（n＜0）在抛物线y=﹣x2+x+2上，

∴m＜﹣2或m＞4，n=﹣m2+m+2＜0，

∴PM=m2﹣m﹣2．

∵Rt△PCM与Rt△AOC相似，

∴==或==2．

①若m＜﹣2，则MC=4﹣m．

当==时，=，

解得m1=﹣4，m2=4（不合题意舍去），

此时点P的坐标为（﹣4，﹣4）；

当==2时，=2，

解得m1=﹣10，m2=4（不合题意舍去），

此时点P的坐标为（﹣10，﹣28）；

②若m＞4，则MC=m﹣4．

当==时，=，

解得m1=4，m2=0，均不合题意舍去；

当==2时，=2，

解得m1=6，m2=4（不合题意舍去），

此时点P的坐标为（6，﹣4）；

综上所述，所求点P的坐标为（﹣4，﹣4）或（﹣10，﹣28）或（6，﹣4）．