Question

【题目】如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），OB=OA，且∠AOB=120°．

（1）求经过A，O，B三点的抛物线的解析式．
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点M为抛物线上一点，点N为对称轴上一点，是否存在点M，N使得A，O，M，N构成的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：过点B作BD⊥x轴于点D，由已知可得：OB=OA=2，∠BOD=60°，

在Rt△OBD中，∠ODB=90°，∠OBD=30°

∴OD=1，DB=

∴点B的坐标是（1， ）．

设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，

由已知可得： ，

解得：

∴所求抛物线解析式为y= ．

（2）

解：存在，

∵△BOC的周长=OB+BC+CO，

又∵OB=2

∴要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小，

∵点O和点A关于对称轴对称

∴连接AB与对称轴的交点即为点C，

且有OC=OA

此时△BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+AC；

点C为直线AB与抛物线对称轴的交点

设直线AB的解析式为y=kx+b，

将点A（﹣2，0），B（1， ）分别代入，得：

，

解得： ，

∴直线AB的解析式为y= x+

当x=﹣1时，y= ，

∴所求点C的坐标为（﹣1， ）；

（3）

解：如图，

①当以OA为对角线时，

OA与MN互相垂直且平分

∴点M（﹣1，﹣ ），

②当以OA为边时

OA=MN且OA∥MN

即MN=2，MN∥x轴

设N（﹣1，t）

则M（﹣3，t）或（1，t）

将M点坐标代入y= ．

∴t=

∴M（﹣3， ）或（1， ）

综上：点M的坐标为：M（﹣1，﹣ ）或（﹣3， ）或（1， ）．

【解析】（1）先确定出点B坐标，再用待定系数法即可；（2）先判断出使△BOC的周长最小的点C的位置，再求解即可；（3）分OA为对角线和为边两种情况进行讨论计算．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识点，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．