Question

【题目】如图1，平面直角坐标系xOy中，若A（0，4）、B（1，0）且以AB为直角边作等腰Rt△ABC，∠CAB＝90°，AB＝AC．

（1）如图1，求C点坐标；

（2）如图2，在图1中过C点作CD⊥x轴于D，连接AD，求∠ADC的度数；

（3）如图3，点A在y轴上运动，以OA为直角边作等腰Rt△OAE，连接EC，交y轴于F，试问A点在运动过程中S△AOB：S△AEF的值是否会发生变化？如果没有变化，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）C（4，5）；（2）45°；（3）A点在运动过程中S△AOB：S△AEF的值不会发生变化，理由见解析

【解析】

（1）先判断△AOB≌△CGA，求出CE＝OA＝4，AG＝OB＝1，即可得出结论；

（2）由（1）知C（4，5），可求出OD＝4，进而OA＝OD，得出∠OAD＝45°，最后用平行线的性质即可得出结论；

（3）先判断点E在y轴的左侧，再分点A在y轴正半轴和负半轴上，同（1）的方法求出点C坐标，用待定系数法求出直线CE的解析式，进而求出点F的坐标，即可得出结论．

（1）如图①，

∵A（0，4）、B（1，0），

∴OA＝4，OB＝1，过点C作CG⊥y轴于G，

∴∠AGC＝90°＝∠BOA，

∴∠OAB+∠OBA＝90°

∵∠CAB＝90°，

∴∠OAB+∠GAC＝90°，

∴∠OBA＝∠GAC，

∵AB＝AC，

∴△AOB≌△CGA（AAS），

∴CG＝OA＝4，AG＝OB＝1，

∴OG＝OA+AG＝5，

∴C（4，5）；

（2）由（1）知，OA＝4，点C（4，5），

∵CD⊥x轴，

∴点D（4，0），

∴OD＝4，

∴OA＝OD，

∠OAD＝45°，

∵CD⊥x轴，

∴CD∥y轴，

∴∠ADC＝∠OAD＝45°；

（3）A点在运动过程中S△AOB：S△AEF的值不会发生变化，

理由：设点A的坐标为（0，a），

①当点A在y轴正半轴上时，连接CE交y轴于F，

∴点C，E在y轴的两侧，即点E在y轴左侧，

同（1）的方法得，C（a，a+1），

∵△OAE是等腰直角三角形，

∴AE⊥OA，

∴E（﹣a，a），

∴直线CE的解析式为y＝x+a+，

∴F（0，a+），

∴AF＝a+-a＝，

∵OB＝1，

∴===＝2；

②当点A在y轴负半轴上时，同①的方法得，C（﹣a，a﹣1），E（a，a），

∴直线CE的解析式为y＝x+a-，

∴F（0，a-），

∴AF＝，

∴∴===＝2；

即A点在运动过程中S△AOB∶S△AEF的值不会发生变化．