Question

【题目】如图，AB是半圆O的直径，AB=a，C是半圆上一点，弦AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接CD，DB，OD．
（1）求证：△CDF≌△BDE；
（2）当AD=时，四边形AODC是菱形；
（3）当AD=时，四边形AEDF是正方形．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵弦AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∴DE=DF．

∵弦AD平分∠BAC，

∴∠FAD=∠BAD，

∴BD=CD．

在Rt△BED和Rt△CFD中 ，

∴Rt△BED≌Rt△CFD （HL）；

（2）
（3） a
【解析】解：（2）四边形AODC是菱形时， OD=CD=DB=OB，
∴∠DBA=60°，
∴AD=ABcos∠DBA=asin60°= a，
故答案为： ；（3）当OD⊥AB，即OD与OE重合时，四边形AEDF是正方形，
由勾股定理，得
AD= = a，
故答案为： a．
（1）根据角平分线的性质，可得DF与DE的关系，根据圆周角定理，可得DC与DB的关系，根据HL，可得答案；（2）根据菱形的性质，可得OD与CD，OD与BD的关系，根据正三角形的性质，可得∠DBA的度数，根据三角函数值，可得答案；（3）根据圆周角定理，可得OD⊥AB，根据勾股定理，可得答案．