Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，半径为1的⊙A的圆心与坐标原点O重合，线段BC的端点分别在x轴与y轴上，点B的坐标为（6，0），且sin∠OCB=．

（1）若点Q是线段BC上一点，且点Q的横坐标为m．

①求点Q的纵坐标；（用含m的代数式表示）

②若点P是⊙A上一动点，求PQ的最小值；

（2）若点A从原点O出发，以1个单位/秒的速度沿折线OBC运动，到点C运动停止，⊙A随着点A的运动而移动．

①点A从O→B的运动的过程中，若⊙A与直线BC相切，求t的值；

②在⊙A整个运动过程中，当⊙A与线段BC有两个公共点时，直接写出t满足的条件．

Answer 1

【答案】（1）①﹣m+8；②PQ最小=OQ最小﹣1=3.8；（2）①t=时，⊙A与直线BC相切；②＜t≤5或7≤t≤15时，⊙A与线段BC有两个公共点．

【解析】

试题分析：（1）①根据正切的概念求出BC=10，OC=8，运用待定系数法求出直线BC的解析式，根据函数图象上点的坐标特征解得即可；

②作OQ⊥AB交⊙A于P，则此时PQ最小，根据三角形面积公式计算即可；

（2）①根据切线的性质和相似三角形的性质计算即可；

②结合图形、运用直线与圆的位置关系定理解答．

解：（1）①∵点B的坐标为（6，0），tan∠OCB=，

∴BC=10，OC=8，

设直线BC的解析式为y=kx+b，

，

解得，

∵点Q的横坐标为m，

∴点Q的纵坐标为﹣m+8；

②如图1，作OQ⊥AB交⊙A于P，则此时PQ最小，

×AB×OQ=×BO×CO，

解得，OQ=4.8，

∴PQ最小=OQ最小﹣1=3.8；

（2）①如图2，⊙A与直线BC相切于H，

则AH⊥BC，又∠BOC=90°，

∴△BHA∽△BOC，

∴=，即=，

解得，BA=，

则OA=6﹣=，

∴t=时，⊙A与直线BC相切；

②由（2）①得，t=时，⊙A与直线BC相切，

当t=5时，⊙A经过点B，

当t=7时，⊙A经过点B，

当t=15时，⊙A经过点C，

故＜t≤5或7≤t≤15时，⊙A与线段BC有两个公共点．