Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，二次函数y=x2+c的图象抛物线交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）．

（1）求∠ABC的度数；

（2）若点D是第四象限内抛物线上一点，△ADC的面积为，求点D的坐标；

（3）若将△OBC绕平面内某一点顺时针旋转60°得到△O′B′C′，点O′，B′均落在此抛物线上，求此时O′的坐标．

Answer 1

【答案】（1）∠ABC=60°；（2）D （，）．（3）O′（﹣，﹣）．

【解析】

试题分析：（1）通过求函数解析式，求出相应线段的长度，观察AC=2OA，进而求出∠ABC度数；

（2）通过观察三角形ADC面积与三角形AOC面积相等，可以判断直线OD∥AC，求出直线与抛物线交点即为点D；

（3）利用抛物线解析式设出O′，通过旋转60°，求出点B′的坐标，将点B′代入抛物线解析式即可求出．

解：（1）由题意与y轴交于点C（0，﹣3），

∴得解析式为y=x2﹣3，

令y=0，x=±，

∴B（，0），A（﹣，0），

∴OA=，OC=3，AC=2，

∴∠OCA=30°，

∴∠ABC=60°；

（2）由（1）得：OA=，OC=3，

∴S△OAC=×3×=，

过原点与AC平行的直线y=﹣，

直线与抛物线的交点即为点D，

联立：，

解得x1=，x2=（舍去），

∴D （，）．

（3）设点O′（m，m2﹣3），

∵顺时针旋转60°，

则点B′（m+，m2﹣），

∴（m+）﹣3=m2﹣，

∴m=﹣，

∴O′（﹣，﹣）．