Question

【题目】探究题

【问题情境】
如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
（1）【探究展示】
直接写出AM、AD、MC三条线段的数量关系：；
（2）【拓展延伸】
AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．

Answer 1

【答案】
（1）AM=AD+MC
（2）

AM=DE+BM成立．

证明：过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，如图1（2）所示．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB=AD，AB∥DC．

∵AF⊥AE，

∴∠FAE=90°．

∴∠FAB=90°﹣∠BAE=∠DAE．

在△ABF和△ADE中，

∴△ABF≌△ADE（ASA）．

∴BF=DE，∠F=∠AED．

∵AB∥DC，

∴∠AED=∠BAE．

∵∠FAB=∠EAD=∠EAM，

∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM

=∠BAM+∠FAB

=∠FAM．

∴∠F=∠FAM．

∴AM=FM．

∴AM=FB+BM=DE+BM．

（3）

①结论AM=AD+MC仍然成立．

证明：延长AE、BC交于点P，如图2（1），

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC．

∴∠DAE=∠EPC．

∵AE平分∠DAM，

∴∠DAE=∠MAE．

∴∠EPC=∠MAE．

∴MA=MP．

在△ADE和△PCE中，

∴△ADE≌△PCE（AAS）．

∴AD=PC．

∴MA=MP=PC+MC

=AD+MC．

②结论AM=DE+BM不成立．

证明：假设AM=DE+BM成立．

过点A作AQ⊥AE，交CB的延长线于点Q，如图2（2）所示．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB∥DC．

∵AQ⊥AE，

∴∠QAE=90°．

∴∠QAB=90°﹣∠BAE=∠DAE．

∴∠Q=90°﹣∠QAB

=90°﹣∠DAE

=∠AED．

∵AB∥DC，

∴∠AED=∠BAE．

∵∠QAB=∠EAD=∠EAM，

∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM

=∠BAM+∠QAB

=∠QAM．

∴∠Q=∠QAM．

∴AM=QM．

∴AM=QB+BM．

∵AM=DE+BM，

∴QB=DE．

在△ABQ和△ADE中，

∴△ABQ≌△ADE（AAS）．

∴AB=AD．

与条件“AB≠AD“矛盾，故假设不成立．

∴AM=DE+BM不成立

【解析】证明：延长AE、BC交于点N，如图1（1），

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE=∠ENC．
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE．
∴∠ENC=∠MAE．
∴MA=MN．
在△ADE和△NCE中，

∴△ADE≌△NCE（AAS）．
∴AD=NC．
∴MA=MN=NC+MC
=AD+MC．