Question

【题目】如图所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且∠AGE=∠DAB．

（1）求线段CD的长；
（2）如果△AEC是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；
（3）如果点F在边CD上（不与点C、D重合），设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：作DH⊥AB于H，如图1，

易得四边形BCDH为矩形，

∴DH=BC=12，CD=BH，

在Rt△ADH中，AH= = =9，

∴BH=AB﹣AH=16﹣9=7，

∴CD=7

（2）

解：当EA=EG时，则∠AGE=∠GAE，

∵∠AGE=∠DAB，

∴∠GAE=∠DAB，

∴G点与D点重合，即ED=EA，

作EM⊥AD于M，如图1

，

则AM= AD= ，

∵∠MAE=∠HAD，

∴Rt△AME∽Rt△AHD，

∴AE：AD=AM：AH，即AE：15= ：9，解得AE= ；

当GA=GE时，则∠AGE=∠AEG，

∵∠AGE=∠DAB，

而∠AGE=∠ADG+∠DAG，∠DAB=∠GAE+∠DAG，

∴∠GAE=∠ADG，

∴∠AEG=∠ADG，

∴AE=AD=15，

综上所述，△AEC是以EG为腰的等腰三角形时，线段AE的长为 或15

（3）

解：作DH⊥AB于H，如图2

，

则AH=9，HE=AE﹣AH=x﹣9，

在Rt△ADE中，DE= = ，

∵∠AGE=∠DAB，∠AEG=∠DEA，

∴△EAG∽△EDA，

∴EG：AE=AE：ED，即EG：x=x： ，

∴EG= ，

∴DG=DE﹣EG= ﹣ ，

∵DF∥AE，

∴△DGF∽△EGA，

∴DF：AE=DG：EG，即y：x=（ ﹣ ）： ，

∴y= （9＜x＜ ）．

【解析】（1）作DH⊥AB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形，则DH=BC=12，CD=BH，再利用勾股定理计算出AH，从而得到BH和CD的长；（2）分类讨论：当EA=EG时，则∠AGE=∠GAE，则判断G点与D点重合，即ED=EA，作EM⊥AD于M，如图1，则AM= AD= ，通过证明Rt△AME∽Rt△AHD，利用相似比可计算出此时的AE长；当GA=GE时，则∠AGE=∠AEG，可证明AE=AD=15，（3）作DH⊥AB于H，如图2，则AH=9，HE=AE﹣AH=x﹣9，先利用勾股定理表示出DE= ，再证明△EAG∽△EDA，则利用相似比可表示出EG= ，则可表示出DG，然后证明△DGF∽△EGA，于是利用相似比可表示出x和y的关系． 本题考查了四边形的综合题：熟练掌握梯形的性质等等腰三角形的性质；常把直角梯形化为一个直角三角形和一个矩形解决问题；会利用勾股定理和相似比计算线段的长；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直角梯形的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一腰垂直于底的梯形是直角梯形．