Question

【题目】如图1，抛物线y＝x2﹣3与x轴交于AB两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，连接AC．点Q是线段AC上的动点，过Q作直线l∥x轴，直线1与∠BAC的平分线交于点M，与∠CAx的平分线交于点N．

（1）P是直线AC下方抛物线上一动点，连接PA，PC，当△PAC的面积最大时，求PQ+AM的最小值；

（2）如图2，连接MC，NC，当四边形AMCN为矩形时，将△AMN沿着直线AC平移得到△A'M'N'，边A'M'所在的直线与y轴交于D点，若△DM'N'为等腰三角形时，求OD的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2） OD的长为2或6或.

【解析】

（1）用割补法求得△PAC面积的表达式，获得点P的坐标，利用30°构造AM为斜边的直角三角形，转换AM的关系，可证点P到x轴的距离即为PQ+AM的最小值；
（2）当四边形AMCN为矩形时，根据矩形的性质点Q为AC与MN的中点，△AMN的三边长度固定，当△DM'N'为等腰三角形时，以D、M'、N'为顶点分三类进行讨论，以线段相等作方程，求得OD的长．

解：（1）由已知可得

设P（m，m2﹣3）

S△PAC＝S△POC+S△AOP﹣S△AOC＝

当m＝时，△PAC的面积有最大值，此时点P坐标

如图，作AH⊥MN，

AH＝AM

AH长为点Q到x轴的距离

PQ+AM＝PQ+AH＝

（2）当四边形AMCN为矩形时，MN＝AC，点Q为AC与MN中点

有题意可知，直线AC的解析式l1为y＝x﹣3

过点M与AC平行的直线解析式l2为y＝x

过点N与AC平行的直线解析式l3为y＝x﹣6

直线AM的解析式l4为

设点N'（n， n﹣6），M'（n﹣2， n﹣6）

设直线A'M'的解析式为

将点M'代入可得

直线A'M'的解析式为

则

①当DM'＝DN'时，DM'2＝DN'2

解得n＝

OD＝2

②当DM'＝M'N'时，DM'2＝M'N'2

解得n＝0或3

OD＝6或0

③当DN'＝M'N'时，DN'2＝M'N'2

解得n＝±3

OD＝2

综上所述，OD的长为2或6或2