Question

【题目】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2x+y﹣3，x﹣2y），它关于x轴的对称点A1的坐标为（x+3，y﹣4），关于y轴的对称点为A2．

（1）求A1、A2的坐标；

（2）证明：O为线段A1A2的中点．

Answer 1

【答案】（1）A1（8，﹣3），A2（﹣8，3）；（2）证明见解析.

【解析】

(1)根据“关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数”列方程组求出x、y的值,从而得到点A的坐标,再根据“关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数”写出点A1的坐标,根据“关于y轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数”写出点A2的坐标;(2)设经过的直线解析式为y=kx,利用待定系数法求一次函数解析式求出直线解析式,再求出点A2在直线上,然后利用勾股定理列式求出=,最后根据线段中点的定义证明即可.

（1）∵点A（2x+y﹣3，x﹣2y）与A1（x+3，y﹣4）关于x轴对称，

∴，

解得，

所以，A（8，3），

所以，A1（8，﹣3），A2（﹣8，3）；

（2）证明：设经过OA1的直线解析式为y=kx，

易得：=﹣x，

又∵A2（﹣8，3），

∴A2在直线OA1上，

∴A1、O、A2在同一直线上，

由勾股定理知OA1=OA2==，

∴O为线段A1A2的中点．