Question

【题目】如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm／s的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25cm／s的速度沿BC向终点C运动，两点到达终点后停止运动。过点P作PE∥BC交AD于点E，连结EQ，设动点运动的时间为ts(t>0)。

(1) 连结DP，经过1s后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？ 请说明理由；

(2) 当t为何值时，△EDQ为直角三角形?

(3) 如图②，设点M是EQ的中点，在点P、Q的整个运动过程中，试探究点M的运动路径长度是多少？

Answer 1

【答案】（1）能.四边形EQDP是平行四边形. (2)当t为2.5或3.1时，△EDQ为直角三角形(3)点M的运动路径长度是cm

【解析】试题分析：（1）如图1，当t=1时，AP=1，BQ=1.25，QD=0.75．由PE∥DC，得到EP=0.75，从而有EP=QD，再由EP∥QD，即可得到结论；

（2）分∠EQP=90°，∠QED=90°两种情况，通过三角形相似，列出比例关系，求出t的值即可；

（3）作AB的中点M，DC的中点M′，连接MM′，则M运动的路径就是线段MM′．过M作MG⊥BC于G．可以证明MG是△ABC的中位线，得到MG=2，BG=GC=2.5．再由M′是DC的中点，得到M′C=1.5，进而得到GM′=2.5－1.5=1，在Rt△MGM′中，由勾股定理即可得出MM′的长．

试题解析：解：（1）能．理由如下：

如图1，当t=1时，AP=1，BQ=1.25，QD=2-1.25=0.75．∵PE∥DC，∴ ，∴，∴EP=0.75，∴EP=QD．∵EP∥QD，∴四边形EQDP是平行四边形．

（2）分两种情况讨论：

①如图3，当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4﹣t．又∵EQ∥AC，∴△EDQ∽△ADC，

∴.∵BC=5厘米，CD=3厘米，∴BD=2厘米，∴DQ=1.25t﹣2，∴ ，解得t=2.5（秒）；

②如图4，当∠QED=90°时，作EM⊥BC于M，CN⊥AD于N，则四边形EMCP是矩形，EM=PC=4﹣t．在Rt△ACD中，∵AC=4厘米，CD=3厘米，∴AD==5，∴CN==.∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，∴△EDQ∽△CDA，∴，∴，解得t=3.1（秒）．

综上所述：当t=2.5秒或t=3.1秒时，△EDQ为直角三角形．

（3）作AB的中点M，DC的中点M′，连接MM′，则M运动的路径就是线段MM′．过M作MG⊥BC于G．∵M是AB的中点，∴G是BC的中点，∴MG是△ABC的中位线，∴MG=AC=2，BG=GC=2.5．∵M′是DC的中点，∴M′C=DC=1.5，∴GM′=2.5－1.5=1，∴MM′===（cm）．