Question

【题目】在正方形ABCD和正方形DEFG中，顶点B、D、F在同一直线上，H是BF的中点．
（1）如图1，若AB=1，DG=2，求BH的长；

（2）如图2，连接AH，GH．

小宇观察图2，提出猜想：AH=GH，AH⊥GH．小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：延长AH交EF于点M，连接AG，GM，要证明结论成立只需证△GAM是等腰直角三角形；
想法2：连接AC，GE分别交BF于点M，N，要证明结论成立只需证△AMH≌△HNG．
…
请你参考上面的想法，帮助小宇证明AH=GH，AH⊥GH．（一种方法即可）

Answer 1

【答案】
（1）

解：解：∵正方形中ABCD和正方形DEFG，

∴△ABD，△GDF为等腰直角三角形．

∵AB=1，DG=2，

∴由勾股定理得BD= ，DF=2 ．

∵B、D、F共线，

∴BF=3 ．

∵H是BF的中点，

∴BH= BF=

（2）

解：证法一：

如图1，延长AH交EF于点M，连接AG，GM，

∵正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共线，

∴AB∥EF．

∴∠ABH=∠MFH．

又∵BH=FH，∠AHB=∠MHF，

∴△ABH≌△MFH．

∴AH=MH，AB=MF．

∵AB=AD，

∴AD=MF．

∵DG=FG，∠ADG=∠MFG=90°，

∴△ADG≌△MFG．

∴∠AGD=∠MGF，AG=MG．

又∵∠DGM+∠MGF=90°，

∴∠AGD+∠DGM=90°．

∴△AGM为等腰直角三角形．

∵AH=MH，

∴AH=GH，AH⊥GH．

证法二：

如图2，连接AC，GE分别交BF于点M，N，

∵正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共线，

∴AC⊥BF，GE⊥BF，DM= BD，DN= DF．

∴∠AMD=∠GNH=90°，MN= BF．

∵H是BF的中点，

∴BH= BF．

∴BH=MN．

∴BH﹣MH=MN﹣MH．

∴BM=HN．

∵AM=BM=DM，

∴AM=HN=DM．

∴MD+DH=NH+DH．

∴MH=DN．

∵DN=GN，

∴MH=GN．

∴△AMH≌△HNG．

∴AH=GH，∠AHM=∠HGN．

∵∠HGN+∠GHN=90°，

∴∠AHM+∠GHN=90°．

∴∠AHG=90°．

∴AH⊥GH．

∴AH=GH，AH⊥GH．

【解析】（1）先根据勾股定理得出AB，DG，进而求出BF，即可得出结论；（2）证法一、先判断△ABH≌△MFH，进而判断出△ADG≌△MFG．即可判断出△AGM为等腰直角三角形，即可得出结论；证法二、先判断出MN= BF．进而判断出△AMH≌△HNG，即可判断出∠AHM+∠GHN=90°．即可得出结论．
【考点精析】通过灵活运用矩形的性质，掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等即可以解答此题．