Question

【题目】如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2AD，点E，F分别是AB，BC边的中点，连接AF，CE交于点M，连接BM并延长交CD于点N，连接DE交AF于点P，则结论：①∠ABN=∠CBN；②DE∥BN；③△CDE是等腰三角形；④EM：BE= ：3；⑤S△EPM= S梯形ABCD ， 正确的个数有（ ）

A.5个
B.4个
C.3个
D.2个

Answer 1

【答案】B
【解析】连接DF，AC，EF，如图所示：

∵E、F分别为AB、BC的中点，且AB=BC，

∴AE=EB=BF=FC，

在△ABF和△CBE中，

，

∴△ABF≌△CBE（SAS），

∴∠BAF=∠BCE，AF=CE，

在△AME和△CMF中，

，

∴△AME≌△CMF（AAS），

∴EM=FM，

在△BEM和△BFM中，

，

∴△BEM≌△BFM（SSS），

∴∠ABN=∠CBN，选项①正确；

∵AE=AD，∠EAD=90°，

∴△AED为等腰直角三角形，

∴∠AED=45°，

∵∠ABC=90°，

∴∠ABN=∠CBN=45°，

∴∠AED=∠ABN=45°，

∴ED∥BN，选项②正确；

∵AB=BC=2AD，且BC=2FC，

∴AD=FC，又AD∥FC，

∴四边形AFCD为平行四边形，

∴AF=DC，又AF=CE，

∴DC=EC，

则△CED为等腰三角形，选项③正确；

∵EF为△ABC的中位线，

∴EF∥AC，且EF= AC，

∴∠MEF=∠MCA，∠EFM=∠MAC，

∴△EFM∽△CAM，

∴EM：MC=EF：AC=1：2，

设EM=x，则有MC=2x，EC=EM+MC=3x，

设EB=y，则有BC=2y，

在Rt△EBC中，根据勾股定理得：EC= = y，

∴3x= y，即x：y= ：3，

∴EM：BE= ：3，选项④正确；

∵E为AB的中点，EP∥BM，

∴P为AM的中点，

∴S△AEP=S△EPM= S△AEM，

又S△AEM=S△BEM，且S△BEM=S△BFM，

∴S△AEM=S△BEM=S△BFM= S△ABF，

∵四边形ABFD为矩形，

∴S△ABF=S△ADF，又S△ADF=S△DFC，

∴S△ABF=S△ADF=S△DFC= S梯形ABCD，

∴S△EPM= S梯形ABCD，选项⑤错误．

则正确的个数有4个．

故答案为：B.

连接DF，AC，EF，如图所示，由E、F分别为AB、BC的中点，且AB=BC，得到EB=FB，再由一对公共角相等，利用“SAS”可得出△ABF与△CBE全等，利用AAS可得出△AME与△CMF全等，由全等三角形的对应边相等可得出ME=MF，再由BE=BF，BM=BM，利用SSS得到△BEM与△BFM全等，根据全等三角形的对应角相等可得出∠ABN=∠CBN，选项①正确；由AD=AE，梯形为直角梯形，得到∠EAD为直角，可得出△AED为等腰直角三角形，可得出∠AED为45°，由∠ABC为直角，且∠ABN=∠CBN，可得出∠ABN为45°，根据同位角相等可得出DE平行于BN，选项②正确；先得到AD=FC，又AD与FC平行，得到ADCF为平行四边形，可得出AF=DC，又AF=CE，等量代换可得出DC=EC，即△DCE为等腰三角形，选项③正确；由EF为△ABC的中位线，得出△EFM与△ACM相似，进而可得出EM：MC=1：2，设EM=x，则有MC=2x，用EM+MC表示出EC，设EB=y，根据BC=2EB，表示出BC，在直角三角形BCE中，利用勾股定理表示出EC，两者相等得到x与y的比值，即为EM与BE的比值，即可判断选项④正确与否；由E为AB的中点，利用等底同高得到△AME的面积与△BME的面积相等，由△BME与△BFM全等，得到面积相等，可得出三个三角形的面积相等都为△ABF面积的，进一步可得出△AEP的面积等于△PEM的面积，得到△PEM的面积为△ABF面积的，由ABFD为矩形得到△ABF与△ADF全等，面积相等，由△ADF与△CFD全等得到面积相等，可得出三个三角形面积相等都为梯形面积的，综上得到△PEM的面积为梯形面积的，可得出选项⑤错误，综上，即可得到所求正确的个数．