Question

【题目】已知直线l1：y=﹣与直线l2：y=kx﹣交于x轴上的同一个点A，直线l1与y轴交于点B，直线l2与y轴的交点为C．

（1）求k的值，并作出直线l2图象；

（2）若点P是线段AB上的点且△ACP的面积为15，求点P的坐标；

（3）若点M、N分别是x轴上、线段AC上的动点（点M不与点O重合），是否存在点M、N，使得△ANM≌△AOC？若存在，请求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）k=，见解析；（2）点P的坐标（，）；（3）当N的纵坐标为（，﹣）时，△ANM≌△AOC．

【解析】

试题分析：（1）对于直线l1，令y=0求出x的值，确定出A坐标，代入直线l2求出k的值，作出直线l2图象即可；

（2）设P（a，b），△ACP面积=△ABC面积﹣△BPC面积，根据已知三角形ACP面积求出a的值，进而求出b的值，确定出P坐标即可；

（3）如图2，作ND⊥x轴于D，利用勾股定理求出AC的长，由△ANM≌△AOC，得到对应边相等，表示出AM，AN，MN，确定出△AMN为直角三角形，利用面积法求出ND的长，确定出N纵坐标，进而求出横坐标，确定出N坐标即可．

解：（1）∵直线l1：y=﹣x+3与x轴交于点A，

∴令y=0时，x=4，即A（4，0），

将A（4，0）代入直线l2：y=kx﹣，得k=，

直线l2图象如图1所示；

（2）设P（a，b），

根据题意得：S△ACP=S△ABC﹣S△PBC=×（3+）×4﹣×（3+）a=15，

解得：a=，

将P（，b）代入直线l1得：b=×（﹣）+3=﹣+3=，

∴点P的坐标（，）；

（3）如图2，作ND⊥x轴于D，

∵AC==，△ANM≌△AOC，

∴AM=AC=，AN=AO=4，MN=OC=，∠ANM=∠AOC=90°，

∵S△AMN=AMND=ANMN，

∴ND===，

将N的纵坐标y=﹣代入直线l2得：x=，

∴当N的纵坐标为（，﹣）时，△ANM≌△AOC．