Question

【题目】如图，点E为矩形ABCD的边BC的中点，以DE为直径的⊙O交AD于H点，过点H作HF⊥AE于点F．
（1）求证：HF是⊙O的切线；
（2）若DH=3，AF=2，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OH，

∵四边形ABCD为矩形，

∴CD=BA，∠C=∠B=90°，

∵E是BC的中点，

∴CE=BE，

∴△CDE≌△BAE（SAS），

∴ED=EA，

∴∠EDA=∠EAD，

∵OD=OH，

∴∠EDA=∠OHD，

∴∠EAD=∠OHD，

∴OH∥AE，

∵HF⊥AE，

∴HF⊥OH，

∵点H为⊙O上，OH为⊙O的半径，

∴HF是⊙O的切线

（2）解：连接EH，

∵DE是⊙O的直径，

∴∠DHE=90°，

∵∠C=∠B=90°，

∴四边形HECD是矩形，

∴CE=DH，

同理：BE=AH，

∵CE=BE，

∴DH=AH=3，

∵CB∥AD，

∴∠BEA=∠EAD，

∵∠HFA=∠B=90°，

∴△FHA∽△BAE，

∴ ，

∴ ，

∴AE= ，

∴OD= DE= AE= × = ，

∴⊙O的半径为 ．

【解析】（1）连接半径OH，证明HF⊥OH即可；（2）连接EH，证明四边形HECD是矩形，则CE=DH，同理：BE=AH，再证明△FHA∽△BAE，列比例式为： ，求AE的长，由（1）知：DE=AE，且DE是直径，由此可得半径的长．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用矩形的性质和切线的判定定理的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等；切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．