Question

【题目】如图1，已知直线y= x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+4ax+b经过A．C两点，且与x轴交于另一点B．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点Q在抛物线上，且△AQC与△BQC面积相等，求点Q的坐标；
（3）如图2，P为△AOC外接圆上弧ACO的中点，直线PC交x轴于点D，∠EDF=∠ACO，当∠EDF绕点D旋转时，DE交直线AC于点M，DF交y轴负半轴于点N．请你探究：CN﹣CM的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，求出变化范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把x=0代入直线的解析式得：y=2，

∴C（0，2）．

把y=0代入直线的解析式得： x+2=0，解得：x=﹣5，

∴A（﹣5，0）．

将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得： ，解得： ，

∴抛物线的解析式为：y=﹣ x2﹣ x+2

（2）

解：令y=0得：﹣ x2﹣ x+2=0，解得x=1或x=﹣5，

∴B（1，0）．

如图1所示：当Q在直线AC上方的抛物线上时．

∵△ACQ和△BCQ为同底的三角形，且它们的面积相等，

∴点A和点B到直线CQ的距离相等．

∴QC∥AB．

∵抛物线的对称轴为x=﹣2，

∴点Q与点C关于x=﹣2对称，

∴Q（﹣4，2）．

如图2所示：当Q在直线AC下方的抛物线上时．

设直线CQ与x轴于点L，则△ACQ的面积= AL|yC﹣yQ|，△BCQ的面积= BL|yC﹣yQ|．

∵△ACQ的面积等于△BCQ的面积，

∴AL=BL．

∴L（﹣2，0）．

设直线LC的解析式为y=kx+b，将点C和点L的坐标代入得： ，解得k=1，b=2．

∴直线CL的解析式为：y=x+2．

将y=x+2与y=﹣ x2﹣ x+2联立得： ，解得： 或 ，

∴Q（﹣ ，﹣ ）．

综上所述，存在两个符合条件的点：Q（﹣4，2）或Q（﹣ ，﹣ ）

（3）

解：如图3所示：

设△AOC的外接圆圆心为S，连接SP，作∠NDR=∠PDE，交y轴于点R，则∠PDR=∠MDN=∠ACO，

∵P是弧ACO的中点，

∴SP平行于y轴，

∴∠PSC=∠ACO=∠CDR，∠SPC=∠RCD，

∴△SCP∽△DCR．

∴△DCR也是等腰三角形，即CD=DR；

又∵DO⊥CR，

∴OC=OR=2．

∴CR=4

∵∠PCS=∠DRC，

∴∠DCM=∠DRN．

在△DCM和△DRN中 ，

∴△DCM≌△DRN．

∴CM=RN．

∴CN﹣CM=CN﹣RN=CR=4

【解析】（1）先求得点A和点C的坐标，然后将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式求得a、b的值即可；（2）先求得点B的坐标，当Q在直线AC上方的抛物线上时．△ACQ和△BCQ为同底的三角形，则QC∥AB，依据抛物线的对称性质可求得点Q的坐标；当Q在直线AC下方的抛物线上时．设直线CQ与x轴于点L，由△ACQ的面积等于△BCQ的面积，可知AL=BL，然后求得CL的解析式，最后求得LC与抛物线的交点坐标即可；（3）设△AOC的外接圆圆心为S，连接SP，作∠NDR=∠PDE，交y轴于点R，先证明△SCP∽△DCR，则CD=DR，依据等腰三角形三线合一的性质可知OC=OR=2．然后再证明△DCM≌△DRN，则CM=RN，最后证明CN﹣CM=CR即可．
【考点精析】利用二次函数的概念对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数．