Question

【题目】如图，已知l1⊥l2 ， ⊙O与l1 ， l2都相切，⊙O的半径为2cm．矩形ABCD的边AD，AB分别与l1 ， l2重合，AB=4 cm，AD=4cm．若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm/s，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）．
（1）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1 ， A1 ， C1恰好在同一直线上，则移动时间t= ．
（2）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm）．当d＜2时，求t的取值范围 ．

Answer 1

【答案】
（1）2+
（2）2﹣ ＜t＜2+2
【解析】解：（1.）连接OO1 ， 并延长交l2于点E，如图1，
过点O1作O1F⊥l1于点F，
∴由题意知：OO1=3t，AA1=4t，
∵tan∠DAC= ，
∴∠DAC=60°，
∴tan∠O1A1F= ，
∴A1F= ，
∵AA1﹣A1F=O1E，
∴4t﹣ =3t+2，
∴t=2+ ；
（2.）当d=2时，
此时⊙O与直线AC相切，
当直线AC在⊙O的左边，如图2，

由（1）可知，A1F= ，
∴AA1+A1F=O1E，
∴4t+ =3t+2，
∴t=2﹣ ，
当直线AC在⊙O的右边，如图3，

此时，A1F=2
∴AA1﹣A1F=O1E，
∴4t﹣2 =3t+2，
∴t=2+2 ，
综上所述，当d＜2时，t的取值范围为：2﹣ ＜t＜2+2 ．
所以答案是：（1）2+ ；（2）2﹣ ＜t＜2+2 ．