Question

【题目】如图，已知∠AOB以O为圆心，以任意长为半径作弧，分别交OA、OB于F、E两点，再分别以E、F为圆心，大于 EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线OP，过点F作FD∥OB交OP于点D．

（1）若∠OFD=116°，求∠DOB的度数；
（2）若FM⊥OD，垂足为M，求证：△FMO≌△FMD．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵OB∥FD，
∴∠0FD+∠A0B=18O°，
又∵∠0FD=116°，
∴∠A0B=180°﹣∠0FD=180°﹣116°=64°，
由作法知，0P是∠A0B的平分线，
∴∠D0B= ∠A0B=32°
（2）证明：∵0P平分∠A0B，
∴∠A0D=∠D0B，
∵0B∥FD，
∴∠D0B=∠ODF，
∴∠A0D=∠ODF，
又∵FM⊥0D，
∴∠OMF=∠DMF，
在△MFO和△MFD中 ，
∴△MFO≌△MFD（AAS）．
【解析】（1）由作图的步骤可知是角平分线的作图，利用角平分线的性质及平行线的性质，再利用等腰三角形的内角和定理，可求出∠DOB度数；（2）利用平行线的内错角相等及角平分线条件，再利用已知，可根据“AAS”证出全等.