Question

【题目】如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C、D不重合）．

（1）如图①，当α=90°时，求证：DE+DF=AD．
（2）如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为 ，请给出证明．
（3）在（2）的条件下，将∠QPN绕点P旋转，若旋转过程中∠QPN的边PQ与边AD的延长线交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：正方形ABCD的对角线AC，BD交于点P，

∴PA=PD，∠PAE=∠PDF=45°，

∵∠APE+∠EPD=∠DPF+∠EPD=90°，

∴∠APE=∠DPF，

在△APE和△DPF中

，

∴△APE≌△DPF（ASA），

∴AE=DF，

∴DE+DF=AD

（2）

如图②，取AD的中点M，连接PM，

∵四边形ABCD为∠ADC=120°的菱形，

∴BD=AD，∠DAP=30°，∠ADP=∠CDP=60°，

∴△MDP是等边三角形，

∴PM=PD，∠PME=∠PDF=60°，

∵∠PAM=30°，

∴∠MPD=60°，

∵∠QPN=60°，

∴∠MPE=∠FPD，

在△MPE和△DPF中，

，

∴△MPE≌△DPF（ASA）

∴ME=DF，

∴DE+DF= AD

（3）

如图，

如图③，当点E落在AD的延长线上时，

取AD的中点M，连接PM，

∵四边形ABCD为菱形，∠ADC=120°，

∴AD=CD，∠DAP=30°，AC⊥BD，

∴∠ADP=∠CDP=60°，

∵AM=MD，

∴PM=MD，

∴△MDP是等边三角形，

∴∠PME=∠MPD=60°，PM=PD，

∵∠QPN=60°，

∴∠MPE=∠FPD，

在△MPE和△DPF中，

，

∴△MPE≌△DPF（ASA）．

∴ME=DF，

∴DF﹣DE=ME﹣DE=DM= AD

【解析】（1）利用正方形的性质得出角与线段的关系，易证得△APE≌△DPF，可得出AE=DF，即可得出结论DE+DF=AD，（2）取AD的中点M，连接PM，利用菱形的性质，可得出△MDP是等边三角形，易证△MPE≌△FPD，得出ME=DF，由DE+ME= AD，即可得出DE+DF= AD，（3）①当点E落在AD上时，DE+DF= AD，②当点E落在AD的延长线上时，DF﹣DE= AD．
【考点精析】解答此题的关键在于理解正方形的性质的相关知识，掌握正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．