Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，A，B，C为坐标轴上的三点，且OA=OB=OC=4，过点A的直线AD交BC于点D，交y轴于点G，△ABD的面积为8．过点C作CE⊥AD，交AB交于F，垂足为E．

（1）求D点的坐标；
（2）求证：OF=OG；
（3）在第一象限内是否存在点P，使得△CFP为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1，作DH⊥x轴于H，

∵OA=OB=OC=4，

∴AB=8，B（4，0），C（0，4），

设BC的解析式为y=kx+b，

把B，C两点代入得 ，解得： ，

∴BC的解析式为y=﹣x+4，

∵△ABD的面积为8，AB=8，

∴DH=2，

所以D点的纵坐标为2，

把y=2代入y=﹣x+4得：x=2，

∴D（2，2）；

（2）

解：∵CE⊥AD，

∴∠CEG=∠AOG=90°，

又∵∠AGO=∠CGE，

∴△AGO～△CGE，

∴∠GAO=∠GCE，

在△COF与△AOG中， ，

∴△COF≌△AOG，

∴OF=OG；

（3）

解：存在，∵A（﹣4，0），D（2，2），

∴直线AD的解析式为y= x+ ，

∴OG= ，

∴OF=OG= ，

①如图2，当∠CFP=90°，FP=FC时，

过P作PH⊥x轴于H，

∴∠PHF=∠COF=90°，

∴∠OCF+∠OFC=∠OFC+∠PFH=90°，∴∠OCF=∠PFH，

在△COF与△PFH中， ，∴△COF≌△PFH，∴PH=OF= ，FH=OC=4，

∴OH= ，

∴P1（ ， ）；

②如图3，当∠PCF=90°，CP=FC时，同理证得△PHC≌△CFO，

∴PH=OC=4，CH=OF= ，

∴OH= ，

∴P2（4， ）；

③如图4，当∠CPF=90°，PC=PF时，

过P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，

∴四边形PNOM是矩形，

∴∠NPM=90°，

∴∠CPN+∠NPF=∠NPF+∠FPM=90°，

∴∠CPN=∠FPM，

在△CPN与△FPM中， ，

∴△PNC≌△PMF，

∴PN=PM，CN=FM，

∴矩形PNOM是正方形，

∴ON=OM，

∴4﹣CN= +CN，

∴CN=CM= ，

∴PN=PM= ，

∴P3（ ， ），

综上所述：P的坐标为（ ， ），（4， ），（ ， ）．

【解析】（1）根据已知条件得到AB=8，B（4，0），C（0，4），待定系数法求得BC的解析式为y=﹣x+4，根据三角形的面积得到DH=2，即可得到结论；（2）根据已知条件得到△AGO～△CGE，由相似三角形的性质得到∠GAO=∠GCE，根据全等三角形的性质即可得到结论；（3）根据直线AD的解析式y= x+ ，求得OF=OG= ，①如图2，当∠CFP=90°，FP=FC时，过P作PH⊥x轴于H，根据全等三角形的性质得到PH=OF= ，FH=OC=4，于是得到P1（ ， ）；②如图3，当∠PCF=90°，CP=FC时，根据全等三角形的性质得到PH=OC=4，CH=OF= ，于是得到P2（4， ）；③如图4，当∠CPF=90°，PC=PF时，根据全等三角形的性质得到PN=PM，CN=FM，根据ON=OM，列方程得到CN=CM= ，于是得到P3（ ， ）．