Question

【题目】如图，点C在线段BD上，AC⊥BD，CA=CD，点E在线段CA上，且满足DE=AB，连接DE并延长交AB于点F．
（1）求证：DE⊥AB；
（2）若已知BC=a，AC=b，AB=c，设EF=x，则△ABD的面积用代数式可表示为；S△ABD= c（c+x）你能借助本题提供的图形，证明勾股定理吗？试一试吧．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在Rt△ABC和Rt△DCE中，

∴Rt△ABC≌Rt△DCE（HL）

∴∠BAC=∠EDC（全等三角形的对应角相等），

∵∠AEF=∠DEC（对顶角相等），∠EDC+∠DEC=90°（直角三角形两锐角互余），

∴∠BAC+∠AEF=∠EDC+∠DEC=90°．

∴∠AFE=180°﹣（∠BAC+∠AEF）=90°．

∴DE⊥AB

（2）解：由题意知：

S△ABD=S△BCE+S△ACD+S△ABE= a2+ b2+ cx，

∵ ，

∴ ．

∴a2+b2=c2

【解析】（1）首先证明Rt△ABC≌Rt△DCE，得出∠BAC=∠EDC，进而求出∠AFE=180°﹣（∠BAC+∠AEF）=90°，即可得出答案；（2）根据S△ABD=S△BCE+S△ACD+S△ABE ， 得出a2+b2=c2即可．