Question

【题目】如图，在△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥DF交AB于点E，连接EG、EF．
（1）求证：BG=CF；
（2）求证：EG=EF；
（3）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵BG∥AC，

∴∠C=∠GBD，

∵D是BC的中点，

∴BD=DC，

在△CFD和△BGD中

∴△CFD≌△BGD，

∴BG=CF．

（2）证明：∵△CFD≌△BGD，

∴DG=DF，

∵DE⊥GF，

∴EG=EF．

（3）BE+CF＞EF，

证明：∵△CFD≌△BGD，

∴CF=BG，

在△BGE中，BG+BE＞EG，

∵由（2）知：EF=EG，

∴BG+CF＞EF．

【解析】（1）求出∠C=∠GBD，BD=DC，根据ASA证出△CFD≌△BGD即可．（2）根据全等得出GD=DF，根据线段垂直平分线性质得出即可．（3）根据全等得出BG=CF，根据三角形三边关系定理求出即可．