Question

【题目】阅读下面的材料：小锤遇到一个问题：如图①，在△ABC中，DE//BC分别交AB于点D，交AC于点E，已知CDBE，CD=2，BE=3，求BC+DE的值.

小锤发现，过点E作EFDC，交BC的延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决.

（1）请按照上述思路完成小锤遇到的问题；

（2）参考小锤思考问题的方法，解决下面的问题：如图②，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABEF是矩形，AC与DF交于点G，AC=BF=DF，求∠DGC的度数.

Answer 1

【答案】（1）BC+DE=；（2）60°．

【解析】

（1）由DE∥BC，EF∥DC，可证得四边形DCFE是平行四边形，即可得EF=CD=3，CF=DE，即可得BC+DE=BF，然后利用勾股定理，求得BC+DE的值；

（2）首先连接AE，CE，由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABEF是矩形，易证得四边形DCEF是平行四边形，继而证得△ACE是等边三角形，则可求得答案．

（1）∵DE∥BC，EF∥DC，

∴四边形DCFE是平行四边形，

∴EF=CD=3，CF=DE，

∵CD⊥BE，

∴EF⊥BE，

∴BC+DE=BC+CF=BF=BE2+EF2=；

(2)连接AE，CE，如图．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC．

∵四边形ABEF是矩形，

∴AB∥FE，BF=AE．

∴DC∥FE．

∴四边形DCEF是平行四边形．

∴CE∥DF．

∵AC=BF=DF，

∴AC=AE=CE．

∴△ACE是等边三角形．

∴∠ACE=60°．

∵CE∥DF，

∴∠AGF=∠ACE=60°．