Question

【题目】如图，在等腰△ABC中，AB=BC=4，点O是AB的中点，∠AOC=60°，点P是射线CO上的一个动点，若当△PAB为直角三角线时，试画出可能的图形（两种即可），并求出相应图形中的AP的长．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

试题分析：利用分类讨论，当∠APB=90°时，分两种情况讨论，情况一：易得∠PAB=30°，利用锐角三角函数得AP的长；情况二：如图2，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出结论；当∠ABP=90°时，如图3易得BP，利用勾股定理可得AP的长；．

解：当∠APB=90°时，分两种情况．

情况一：如图1，

∵AO=BO，

∴PO=BO，

∵∠AOC=60°，

∴∠BOP=60°，

∴△BOP为等边三角形，

∵AB=BC=4，

∴AP=ABsin60°=4×=2；

情况二：如图2，

∵AO=BO，∠APB=90°，

∴PO=AO，

∵∠AOC=60°，

∴△AOP为等边三角形，

∴AP=AO=2，

当∠ABP=90°时，如图3，

∵∠AOC=∠BOP=60°，

∴∠BPO=30°，

∴BP=OB=2，

在直角三角形ABP中，

AP==2，

综上所述，AP的长为2或2或2．