Question

【题目】如图，D为等边△ABC的边AC上一点，E为直线AB上一点，CD=BE．

(1)如图1，求证；AD=DE；

(2)如图2，DE交CB于点P．

①若DE⊥AC，PC=6，求BP的长；

②猜想PD与PE之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)①BP=3；②PD=PE，理由见解析.

【解析】

（1）只要证明△ADE是等边三角形即可；
（2）①利用直角三角形30度角性质即可解决问题；②过点D作DQ∥AB交BC于点Q，只要证明△CDQ是等边三角形，△DQP≌△EBP（AAS）即可解决问题．

(1)∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠A=60°，

∵CD=BE，

∴AB-BE=AC-CD，即AD=AE，

∵∠A=60°，

∴△ADE是等边三角形．

∴AD=DE．

(2)①∵DE⊥AC，∠A=60°，

∴∠E=30°，

∵∠ABC=60°，

∴∠E=∠BPE=30°=∠CPD，

∴BP=BE，CD=PC=3，

∵CD=BE，

∴BP=BE=3．

②PD=PE，理由如下：

如图2，过点D作DQ∥AB，交BC于点Q，

∴∠CDQ=∠A=60°，∠CQD=∠ABC=60°，∠DQP=∠EBP，

∴△DCQ是等边三角形，

∴DQ=CD=BE．

∵∠DPQ=∠EPB，∠DQP=∠EBP，

∴△DQP≌△EBP，

∴PD=PE．