【题目】如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．

（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．

参考答案：

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）存在，G（1，0）；（3）2．

【解析】

(1)根据顶点式可求得抛物线的表达式；

(2)根据轴对称的最短路径问题，作E关于对称轴的对称点E′，连接E′F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小，先求E′F的解析式，它与对称轴的交点就是所求的点G；

(3)如图2，先利用待定系数法求AB的解析式，过N作NH⊥x轴于H，交AB于Q，设N(m，﹣m2+2m+3)，则Q(m，﹣2m+6)(1＜m＜3)，表示NQ＝﹣m2+4m﹣3，证明△QMN∽△ADB，列比例式可得MN的表达式，根据配方法可得当m=2时，MN有最大值，证明△NGP∽△ADB，同理得PG的长，从而得OP的长，根据三角形的面积公式可得结论，并将m=2代入计算即可．

(1)设抛物线的表达式为：y＝a(x﹣1)2+4，

把(0，3)代入得：3＝a(0﹣1)2+4，

a＝﹣1，

∴抛物线的表达式为：y＝﹣(x﹣1)2+4＝﹣x2+2x+3；

(2)存在，如图1，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小．

∵E(0，3)，∴E'(2，3)，

设EF的解析式为y=k′x+b′，

把F(0，﹣3)，E'(2，3)分别代入，得，解得，

所以E'F的解析式为：y＝3x﹣3，

当x＝1时，y＝3×1﹣3＝0，∴G(1，0)；

(3)如图2．

设AB的解析式为y=k″x+b″，

把A(1，4)，B(3，0)分别代入，得，解得，

所以AB的解析式为：y＝﹣2x+6，

过N作NH⊥x轴于H，交AB于Q，

设N(m，﹣m2+2m+3)，则Q(m，﹣2m+6)，(1＜m＜3)，

∴NQ＝(﹣m2+2m+3)﹣(﹣2m+6)＝﹣m2+4m﹣3，

∵AD∥NH，∴∠DAB＝∠NQM，

∵∠ADB＝∠QMN＝90°，∴△QMN∽△ADB，

∴，∴，

∴MN(m﹣2)2

0，

∴当m＝2时，MN有最大值；

过N作NG⊥y轴于G，

∵∠GPN＝∠ABD，∠NGP＝∠ADB＝90°，∴△NGP∽△ADB，

∴，∴PGNGm，

∴OP＝OG﹣PG＝﹣m2+2m+3m＝﹣m2m+3，

∴S△PONOPGN(﹣m2m+3)m，

当m＝2时，S△PON2(﹣4+3+3)＝2．

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