Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，C为半圆上一动点，过点C作⊙O的切线l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E，连接OC，CE，AE，AE交OC于点F．
（1）求证：△CDE≌△EFC；
（2）若AB=4，连接AC． ①当AC=时，四边形OBEC为菱形；
②当AC=时，四边形EDCF为正方形．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，

∵BD⊥CD，

∴∠CDE=90°，

∵AB是直径，

∴∠AEB=90°，

∵CD是切线，

∴∠FCD=90°，

∴四边形CFED矩形，

∴CF=DE，EF=CD，

在△CDE和△EFC中，

，

∴△CDE≌△EFC．

（2）2；2
【解析】（2）解：①当AC=2时，四边形OCEB是菱形． 理由：连接OE．

∵AC=OA=OC=2，
∴△ACO是等边三角形，
∴∠CAO=∠AOC=60°，
∵∠AFO=90°，
∴∠EAB=30°，
∵∠AEB=90°，
∴∠B=60°，∵OE=OB，
∴△OEB是等边三角形，
∴∠EOB=60°，
∴∠COE=180°﹣60°﹣60°=60°，∵CO=OE，
∴△COE是等边三角形，
∴CE=CO=OB=EB，
∴四边形OCEB是菱形．
所以答案是2．
②当四边形DEFC是正方形时，

∵CF=FE，
∵∠CEF=∠FCE=45°，
∵OC⊥AE，
∴ ，
∴∠CAE=∠CEA=45°，
∴∠ACE=90°，
∴AE是⊙O的直径，
∴ ，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴AC= OA=2 ．
∴AC=2 时，四边形DEFC是正方形．
所以答案是2 ．