Question

【题目】如图，AB、CD是⊙O的直径，BE是⊙O的弦，且BE∥CD，过点C的切线与EB的延长线交于点P，连接BC．
（1）求证：BC平分∠ABP；
（2）求证：PC2=PBPE；
（3）若BE﹣BP=PC=4，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵BE∥CD，

∴∠1=∠3，

又∵OB=OC，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠2，即BC平分∠ABP；

（2）证明如图，连接EC、AC，

∵PC是⊙O的切线，

∴∠PCD=90°，

又∵BE∥DC，

∴∠P=90°，

∴∠1+∠4=90°，

∵AB为⊙O直径，

∴∠A+∠2=90°，

又∠A=∠5，

∴∠5+∠2=90°，

∵∠1=∠2，

∴∠5=∠4，

∵∠P=∠P，

∴△PBC∽△PCE，

∴ = ，即PC2=PBPE；

（3）解：∵BE﹣BP=PC=4，

∴BE=4+BP，

∵PC2=PBPE=PB（PB+BE），

∴42=PB（PB+4+PB），即PB2+2PB﹣8=0，

解得：PB=2，

则BE=4+PB=6，

∴PE=PB+BE=8，

作EF⊥CD于点F，

∵∠P=∠PCF=90°，

∴四边形PCFE为矩形，

∴PC=FE=4，FC=PE=8，∠EFD=∠P=90°，

∵BE∥CD，

∴ = ，

∴DE=BC，

在Rt△DEF和Rt△BCP中，

∵ ，

∴Rt△DEF≌Rt△BCP（HL），

∴DF=BP=2，

则CD=DF+CF=10，

∴⊙O的半径为5．

【解析】（1）由BE∥CD知∠1=∠3，根据∠2=∠3即可得∠1=∠2；（2）连接EC、AC，由PC是⊙O的切线且BE∥DC，得∠1+∠4=90°，由∠A+∠2=90°且∠A=∠5知∠5+∠2=90°，根据∠1=∠2得∠4=∠5，从而证得△PBC∽△PCE即可；（3）由PC2=PBPE、BE﹣BP=PC=4求得BP=2、BE=6，作EF⊥CD可得PC=FE=4、FC=PE=8，再Rt△DEF≌Rt△BCP得DF=BP=2，据此得出CD的长即可．
【考点精析】利用切线的性质定理和相似三角形的判定与性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．