Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+c过点（﹣2，2），（4，5），过定点F（0，2）的直线l：y=kx+2与抛物线交于A、B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系（＞、＜、=），并证明你的判断；
（3）P为y轴上一点，以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形，设点P（0，m），求自然数m的值；
（4）若k=1，在直线l下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QBF的面积最大？若存在，求出点Q的坐标及△QBF的最大面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把点（﹣2，2），（4，5）代入y=ax2+c得 ，解得 ，

所以抛物线解析式为y= x2+1；

（2）

解：BF=BC．

理由如下：

设B（x， x2+1），而F（0，2），

∴BF2=x2+（ x2+1﹣2）2=x2+（ x2﹣1）2=（ x2+1）2，

∴BF= x2+1，

∵BC⊥x轴，

∴BC= x2+1，

∴BF=BC；

（3）

解：如图1，

m为自然数，则点P在F点上方，

∵以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形，

∴CB=CF=PF，

而CB=FB，

∴BC=CF=BF，

∴△BCF为等边三角形，

∴∠BCF=60°，

∴∠OCF=30°，

在Rt△OCF中，CF=2OF=4，

∴PF=CF=4，

∴P（0，6），

即自然数m的值为6；

（4）

解：作QE∥y轴交AB于E，如图2，

当k=1时，一次函数解析式为y=x+2，

解方程组 得 或 ，则B（1+ ，3+ ），

设Q（t， t2+1），则E（t，t+2），

∴EQ=t+2﹣（ t2+1）=﹣ t2+t+1，

∴S△QBF=S△EQF+S△EQB= （1+ ）EQ= （1+ ））（﹣ t2+t+1）=﹣ （t﹣2）2+ +1，

当t=2时，S△QBF有最大值，最大值为 +1，此时Q点坐标为（2，2）．

【解析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）设B（x， x2+1），而F（0，2），利用两点间的距离公式得到BF2=x2+（ x2+1﹣2）2=，再利用配方法可得到BF= x2+1，由于BC= x2+1，所以BF=BC；（3）如图1，利用菱形的性质得到CB=CF=PF，加上CB=FB，则可判断△BCF为等边三角形，所以∠BCF=60°，则∠OCF=30°，于是可计算出CF=4，所以PF=CF=4，从而得到自然数m的值为6；（4）作QE∥y轴交AB于E，如图2，先解方程组 得B（1+ ，3+ ），设Q（t， t2+1），则E（t，t+2），则EQ=﹣ t2+t+1，则S△QBF=S△EQF+S△EQB= （1+ ）EQ= （1+ ））（﹣ t2+t+1），然后根据二次函数的性质解决问题．