Question

【题目】如图，抛物线与x轴相交的于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．

（1）直接写出A，B，C三点的坐标和抛物线的对称轴；

（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点（P不与C，B两点重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．

①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形．

②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式；当m为何值时，S有最大值．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），抛物线对称轴为直线x=1；（2）①m=2；②S=（0＜m＜3），则当m=时，S取得最大值．

【解析】

试题分析：（1）对于抛物线，令x=0，得到y=3；

令y=0，得到，即（x﹣3）（x+1）=0，解得：x=﹣1或x=3，则A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），抛物线对称轴为直线x=1；

（2）①设直线BC的函数解析式为y=kx+b，把B（3，0），C（0，3）分别代入得：，解得：k=﹣1，b=3，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，当x=1时，y=﹣1+3=2，∴E（1，2），当x=m时，y=﹣m+3，∴P（m，﹣m+3），令中x=1，得到y=4，∴D（1，4），当x=m时，，∴F（m，），∴线段DE=4﹣2=2，∵0＜m＜3，∴yF＞yP，∴线段PF=﹣（﹣m+3）=．连接DF，由PF∥DE，得到当PF=DE时，四边形PEDF为平行四边形，由，得到m=2或m=1（不合题意，舍去），则当m=2时，四边形PEDF为平行四边形；

②连接BF，设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），可得OB=OM+MB=3，∵S=S△BPF+S△CPF=PFBM+PFOM=PF（BM+OM）=PFOB，∴S=×3（），即S=（0＜m＜3），则当m=时，S取得最大值．