Question

【题目】如图1，已知，分别为两坐标轴上的点，且，满足，且.

（1）求、、三点的坐标；

（2）若，过点的直线分别交、于、两点，且，设、两点的横坐标分别为、，求的值；

（3）如图2，若，点是轴上点右侧一动点，于点，在上取点，使，连接，当点在点右侧运动时，的度数是否改变?若不变，请求其值；若改变，请说明理由.

图1 图2

Answer 1

【答案】(1) A(12,0),B(0,12)，C(4,0)；

(2)

(3) 不改变，

【解析】

（1）由偶次方和绝对值的非负性质求出a和b的值，得出点A、B的坐标，再求出OC，即可得出点C的坐标；
（2）作EG⊥x轴于G，FH⊥x轴于H，DF=DE，由AAS证明△FDH≌△EDG，得出DH=DG，即可得出结果；
（3）连接MA、MC，过C作CT⊥PM于T，证明△CMT≌△MAH，可证明△CGT是等腰直角三角形，可求得∠CGM=45°．

(1)∵，

∴a12=0，b12=0，

∴a=b=12，

∴A(12,0),B(0,12)，

∴OA=OB=12，

∵.

∴OC=4，

∴C(4,0)；

(2)作EG⊥x轴于G，FH⊥x轴于H，如图1所示：

则

在△FDH和△EDG中,

∴△FDH≌△EDG(AAS)，

∴DH=DG,即

∴

(3)∠CGM的度数不改变,

如图3，连接MA、MC，过C作CT⊥PM于T，过M作MS⊥x轴于点S，

∵M(4,8),C(4,0),A(12,0)，

∴S(4,0)，

∴MS垂直平分AC，

∴MC=MA，且MS=SC，

∴

∴

∴∠TCM=∠AMH，

在△CMT和△MAH中

∴△CMT≌△MAH(AAS)，

∴TM=AH，CT=MH，

又AH=HG，

∴MT=GH，

∴GT=GM+MT=MG+GH=MH=CT，

∴△CGT是等腰直角三角形，

∴

即当点P在点A右侧运动时，∠CGM的度数不改变.