Question

【题目】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE．

（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AC=4，BC=2，求BD和CE的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：连接OC，如图所示：

∵BD是⊙O的切线，

∴∠CBE=∠A，∠ABD=90°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACO+∠BCO=90°，∠BCD=90°，

∵E是BD中点，

∴CE= BD=BE，

∴∠BCE=∠CBE=∠A，

∵OA=OC，

∴∠ACO=∠A，

∴∠ACO=∠BCE，

∴∠BCE+∠BCO=90°，

即∠OCE=90°，CE⊥OC，

∴CE是⊙O的切线；

（2）

解：∵∠ACB=90°，

∴AB= = =2 ，

∵tanA= = = ，

∴BD= AB= ，

∴CE= BD=

【解析】（1）连接OC，由弦切角定理和切线的性质得出∠CBE=∠A，∠ABD=90°，由圆周角定理得出∠ACB=90°，得出∠ACO+∠BCO=90°，∠BCD=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得出CE= BD=BE，得出∠BCE=∠CBE=∠A，证出∠ACO=∠BCE，得出∠BCE+∠BCO=90°，得出CE⊥OC，即可得出结论；（2）由勾股定理求出AB，再由三角函数得出tanA= = = ，求出BD= AB= ，即可得出CE的长．本题考查了切线的判定、弦切角定理、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解决问题的关键．