Question

【题目】已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：

①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2（AD2+AB2），

其中结论正确的个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

Answer 1

【答案】C

【解析】

试题①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE。

∵在△BAD和△CAE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，

∴△BAD≌△CAE（SAS）。∴BD=CE。本结论正确。

②∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE。

∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°。∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°。

∴BD⊥CE。本结论正确。

③∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°。∴∠ABD+∠DBC=45°。

∵∠ABD=∠ACE，∴∠ACE+∠DBC=45°。本结论正确。

④∵BD⊥CE，∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得：BE2=BD2+DE2。

∵△ADE为等腰直角三角形，∴DE=AD，即DE2=2AD2。

∴BE2=BD2+DE2=BD2+2AD2。

而BD2≠2AB2，本结论错误。

综上所述，正确的个数为3个。故选C。