Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣2，3），点B的坐标是（1，﹣1），连接AB，点C是坐标轴上任意一点，则使△ABC为等腰三角形的点C共有_____个．

Answer 1

【答案】10

【解析】

分AB=AC，AC=BC，AB=BC三种情况讨论，可得点C坐标，即可求得结论．

解：∵△ABC为等腰三角形，

∴AB＝AC或AC＝BC或AB＝BC

①若AB＝AC，点C在x轴上时，

∵点A坐标为（﹣2，3），点B坐标为（1，﹣1），点C（a，0），

∴（﹣2﹣1）2+（3+1）2＝（a+2）2+（0﹣3）2．

∴a＝2或﹣6，

∴点C坐标为（2，0）或（﹣6，0）；

若AB＝AC，点C在Y轴上时，

∵点A坐标为（﹣2，3），点B坐标为（1，﹣1），点C（0，b），

∴（﹣2﹣1）2+（3+1）2＝（0+2）2+（b﹣3）2．

∴b＝3±，

∴点C坐标为（0，3+）或（0，3﹣）；

②若AB＝BC，C在x轴上时，

∴（﹣2﹣1）2+（3+1）2＝（a﹣1）2+（0+1）2．

∴a＝1±2，

∴点C坐标为（1+2，0）或（1﹣2，0）；

若AB＝BC，C在y轴上时，

∴（﹣2﹣1）2+（3+1）2＝（0﹣1）2+（b+1）2．

∴a＝﹣1±2，

∴点C坐标为（0，﹣1+2）或（0，﹣1﹣2）；

③若BC＝AC，C在x轴上时，

∴（a+2）2+（3﹣0）2＝（a﹣1）2+（﹣1﹣0）2．

∴a＝﹣

∴点C（﹣，0）；

若BC＝AC，C在x轴上时，

∴（0+2）2+（3﹣b）2＝（0﹣1）2+（﹣1﹣b）2．

∴b＝，

∴点C（0，）；

综上，使△ABC为等腰三角形的点C共有10个，

故答案为10．