Question

【题目】如图，锐角△ABC的两条高BD与CE相交于点O，且OB＝OC，连接AO．

（1）求证：∠ABC＝∠ACB；

（2）求证：AO垂直平分线段BC．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）由OB=OC，即可求得∠OBC=∠OCB，又由，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，根据三角形的内角和等于180°，即可证得结论．
（2）首先连接AO并延长交BC于F，通过证△AOB≌△AOC（SSS），得到∠BAF=∠CAF，再利用等腰三角形的性质可得结论．

（1）证明：∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，

∴∠BEC＝∠CDB＝90°，

∵∠BEC+∠BCE+∠ABC＝∠CDB+∠DBC+∠ACB＝180°，

∴180°﹣∠BEC﹣∠BCE＝180°﹣∠CDB﹣∠CBD，

∴∠ABC＝∠ACB，

（2）证明：AO垂直平分线段BC．

理由：连接AO并延长交BC于F，

∵∠ABC＝∠ACB，

∴AB=AC

在△AOB和△AOC中，

，

∴△AOB≌△AOC（SSS）．

∴∠BAF＝∠CAF，

∵AB＝AC，

∴AO垂直平分线段BC．