Question

【题目】如图，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，连结AE，BD，设AE交CD于点F．

（1）求证：△ACE≌△DCB；

（2）求证：△ADF∽△BAD．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：有两组边对应相等，并且它们所夹的角也相等，那么这两个三角形全等；有两组角分别相等，且其中一组角所对的边对应相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等，对应角相等．

（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；

（2）利用（1）中全等三角形的对应角相等，平行线的判定与性质以及两角法证得结论．

解：（1）∵△ACD和△BCE都是等边三角形，

∴AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°

∴∠ACE=∠DCB=120°．

∴△ACE≌△DCB（SAS）；

（2）∵△ACE≌△DCB，

∴∠CAE=∠CDB．

∵∠ADC=∠CAD=∠ACD=∠CBE=60°，

∴DC∥BE，

∴∠CDB=∠DBE，

∴∠CAE=∠DBE，

∴∠DAF=∠DBA．

∴△ADF∽△BAD．