Question

【题目】已知矩形ABCD和点P，当点P在图1中的位置时，则有结论：S△PBC=S△PAC+S△PCD

理由：过点P作EF垂直BC，分别交AD、BC于E、F两点．

∵S△PBC+S△PAD=BCPF+ADPE=BC（PF+PE）=BCEF=S矩形ABCD．

（1）请补全以上证明过程．

（2）请你参考上述信息，当点P分别在图1、图2中的位置时，S△PBC、S△PAC、SPCD又有怎样的数量关系？请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）猜想结果：图2结论S△PBC=S△PAC+S△PCD； 图3结论S△PBC=S△PAC﹣S△PCD，证明见解析.

【解析】

分析图2，先过点P作EF垂直AD，分别交AD、BC于E、F两点，利用三角形的面积公式可知，经过化简，等量代换，可以得到S△PBC=S△PAD+S矩形ABCD，而S△PAC+S△PCD=S△PAD+S矩形ABCD，故有S△PBC=S△PAC+S△PCD．

（1）证明：∵S△PAC+S△PCD+S△PAD=S矩形ABCD,

∴S△PBC+S△PAD=S△PAC+S△PCD+S△PAD，

∴S△PBC=S△PAC+S△PCD；

（2）猜想结果：图2结论S△PBC=S△PAC+S△PCD； 图3结论S△PBC=S△PAC﹣S△PCD．

证明：如图，过点P作EF垂直AD，分别交AD、BC于E、F两点．

∵S△PBC=BCPF=BCPE+BCEF

=ADPE+BCEF=S△PAD+S矩形ABCD

S△PAC+S△PCD=S△PAD+S△ADC=S△PAD+S矩形ABCD

∴S△PBC=S△PAC+S△PCD．