Question

【题目】如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上，∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC．
（1）试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；
（2）求证：∠ACF=90°；
（3）连接AF，过A、E、F三点作圆，如图2，若EC=4，∠CEF=15°，求 的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：BE=FH．

证明：∵∠AEF=90°，∠ABC=90°，

∴∠HEF+∠AEB=90°，∠BAE+∠AEB=90°，

∴∠HEF=∠BAE，

在△ABE和△EHF中，

，

∴△ABE≌△EHF（AAS）

∴BE=FH

（2）解：由（1）得BE=FH，AB=EH，

∵BC=AB，

∴BE=CH，

∴CH=FH，

∴∠HCF=45°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ACB=45°，

∴∠ACF=180°﹣∠HCF﹣∠ACB=90°

（3）解：由（2）知∠HCF=45°，∴CF= FH．

∠CME=∠HCF﹣∠CEF=45°﹣15°=30°．

如图2，过点C作CP⊥EF于P，则CP= CF= FH．

∵∠CEP=∠FEH，∠CPE=∠FHE=90°，

∴△CPE∽△FHE．

∴ ，即 ，

∴EF=4 ．

∵△AEF为等腰直角三角形，∴AF=8．

取AF中点O，连接OE，则OE=OA=4，∠AOE=90°，

∴ 的弧长为： =2π．

【解析】（1）利用ABE≌△EHF求证BE=FH，（2）由BE=FH，AB=EH，推出CH=FH，得到∠HCF=45°，由四边形ABCD是正方形，所以∠ACB=45°，得出∠ACF=90°，（3）作CP⊥EF于P，利用相似三角形△CPE∽△FHE，求出EF，利用公式求出 的长．