Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如果AB=5，BC=6，求DE的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：相切，理由如下：

连接AD，OD，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°．

∴AD⊥BC．

∵AB=AC，

∴CD=BD= BC．

∵OA=OB，

∴OD∥AC．

∴∠ODE=∠CED．

∵DE⊥AC，

∴∠ODE=∠CED=90°．

∴OD⊥DE．

∴DE与⊙O相切．

（2）解：由（1）知∠ADC=90°，

∴在Rt△ADC中，由勾股定理得

AD= =4．

∵SACD= ADCD= ACDE，

∴ ×4×3= ×5DE．

∴DE=

【解析】（1）连接AD，OD，根据已知条件证得OD⊥DE即可；（2）根据勾股定理计算即可．
【考点精析】利用等腰三角形的性质和直线与圆的三种位置关系对题目进行判断即可得到答案，需要熟知等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；直线与圆有三种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点．