Question

【题目】如图，分别以△ABC的边AB，AC向外作等边△ABD和等边△ACE，线段BE与CD相交于点O，连接OA．

（1）请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）求证：BE=DC；

（3）求证：OA平分∠DOE．

Answer 1

【答案】（1）图形见解析（2）证明见解析（3）证明见解析

【解析】试题分析：（1）先分别以点A、B为圆心，以AB为半径画弧，交于点D，连接AD、BC；再分别以点A、C为圆心，以AC为半径画弧，交于点E，连接AE、CE即可．

（2）根据等边三角形性质得出AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠BDA=∠DBA=∠CAE=60°，求出∠BAE=∠DAC．根据SAS证△ABE≌△ADC即可．

（3）过点A分别作AM⊥BE，AN⊥DC，垂足为点M，N．根据三角形的面积公式求出AN=AM，根据角平分线性质求出即可．

试题解析：（1）完成图形，如图所示：

(2)证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，

∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠BDA=∠DBA=∠CAE=60°，

∴∠BAC+∠CAE=∠BAC+∠BAD，

即∠BAE=∠DAC，

在△ABE和△ADC中，

∵AB＝AD，∠BAE＝∠DAC，AE＝AC，

∴△ABE≌△ADC（SAS），

∴BE=DC．

（3）证明：过点A分别作AM⊥BE，AN⊥DC，垂足为点M，N．

∵由（1）知：△ABE≌△ADC，

∴BE=DC，S△ABE=S△ADC，

∴BEAM＝DCAN，

∴AM=AN，

∵AM⊥BE，AN⊥DC，

∴点A在∠DOE的平分线上，

即OA平分∠DOE．