Question

【题目】已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥BC，垂足为F．

（1）求证：DF为⊙O的切线；

（2）若等边三角形ABC的边长为4，求DF的长；

（3）写出求图中阴影部分的面积的思路．（不求计算结果）

Answer 1

【答案】（1）证明见试题解析；（2）（3）﹣π．

【解析】

试题分析：（1）连接OD，如图，利用等边三角形的性质得到∠A=∠C=60°，再证明OD∥BC，然后利用DF⊥BC可得OD⊥BC，再根据切线的判定定理可判断DF为⊙O的切线；

（2）利用等边三角形的性质得到AB=AC=4，∠C=60°，则CD=2，然后在Rt△CDF中利用正弦的定义可计算出DF；

（3）连接OE，如图，根据扇形的面积公式，利用S阴影部分=S梯形ODFE﹣S扇形DOE进行计算．

试题解析：（1）连接OD，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠C=60°，

∵OA=OD，∴∠ODA=∠A=60°，∴∠ODA=∠C，∴OD∥BC，∵DF⊥BC，

∴OD⊥BC，∴DF为⊙O的切线；

（2）∵等边三角形ABC的边长为4，∴AB=AC=4，∠C=60°，∵AO=AD=2，

∴CD=2，在Rt△CDF中，∵sinC=，∴DF=2sin60°=；

（3）连接OE，如图，∵CF=CD=1，∴EF=CE﹣CF=1，

∴S阴影部分=S梯形ODFE﹣S扇形DOE=（1+2）﹣=﹣π．