Question

【题目】如图,△ABC是等边三角形,D是边BC上(除B,C外)的任意一点,∠ADE=60°,且DE交∠ACF的平分线CE于点E.求证:

（1）∠1=∠2;
（2）AD=DE.

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵△ABC是等边三角形,∠ADE=60°,
∴∠ADE=∠B=60°.
又∵∠ADC=∠2+∠ADE=∠1+∠B,∴∠1=∠2
（2）证明：如图,在AB上取一点M,使BM=BD,连接MD.

∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=60°.
∴△BMD是等边三角形,
∴∠BMD=60°，
∴∠AMD=120°.
∵CE是∠ACF的平分线,
∴∠ECA=60°,
∴∠DCE=120°.
∴∠AMD=∠DCE=120°，
∵ AB=BC ,BM=BD,
∵BA-BM=BC-BD,
∴MA=CD.
在△AMD和△DCE中,
∴△AMD≌△DCE(ASA).
∴AD=DE 。
【解析】 (1)根据等边三角形的性质及已知得出∠ADE=∠B=60°，根据三角形的外角定理及角的和差得出∠ADC=∠2+∠ADE=∠1+∠B,从而得出∠1=∠2 ；
（2）根据等边三角形的性质得出∠B=60°，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△BMD是等边三角形 ，等边三角形三个内角都是60°及邻补角的定义得出∠AMD=120°，根据角平分线的定义及角的和差得出∠DCE=120°，从而得出∠AMD=∠DCE=120°，根据等式的性质得出MA=CD，从而利用ASA判断出△AMD≌△DCE，利用全等三角形对应边相等得出AD=DE。