Question

【题目】在△ABC中，D是BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC，与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．

（1）求证：△ABC∽△FCD；
（2）若DE=3，BC=8，求△FCD的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵D是BC的中点，DE⊥BC，

∴BE=CE，

∴∠B=∠DCF，

∵AD=AC，

∴∠FDC=∠ACB，

∴△ABC∽△FCD.

（2）解：过A作AG⊥CD，垂足为G．

∵AD=AC，

∴DG=CG，

∴BD：BG=2：3，

∵ED⊥BC，

∴ED∥AG，

∴△BDE∽△BGA，

∴ED：AG=BD：BG=2：3，

∵DE=3，

∴AG= ，

∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，

∴ =（ ）2= ．

∵S△ABC= ×BC×AG= ×8× =18，

∴S△FCD= S△ABC= ．

【解析】（1）先证明∠B=∠DCF和∠FDC=∠ACB，可证得△ABC∽△FCD；
（2）过A作AG⊥CD，垂足为G．先证明△BDE∽△BGA，再由相似三角形的性质求得AG的长，由（1）知△ABC∽△FCD，利用面积比等于相似比的平方可求得△ABC的面积，进而可求得△FCD的面积.
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的判定与性质的相关知识，掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．