Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F．

（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；

（2）若四边形CDEF的周长是16cm，AC的长为8cm，求线段AB的长度．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）10cm

【解析】

（1）由三角形中位线定理推知BD∥FC，2DE＝BC，然后结合已知条件“EF∥DC”，利用两组对边相互平行得到四边形DCFE为平行四边形；

（2）根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB＝2DC，即可得出四边形DCFE的周长＝AB+BC，故BC＝16﹣AB，然后根据勾股定理即可求得．

（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，

∴ED是Rt△ABC的中位线，

∴ED∥BC．BC＝2DE，

又 EF∥DC，

∴四边形CDEF是平行四边形；

（2）解：∵四边形CDEF是平行四边形；

∴DC＝EF，

∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，

∴AB＝2DC，

∴四边形DCFE的周长＝AB+BC，

∵四边形DCFE的周长为16cm，AC的长8cm，

∴BC＝16﹣AB，

∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，

∴AB2＝BC2+AC2，

即AB2＝（16﹣AB）2+82，

解得：AB＝10cm，