Question

【题目】如图，把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC，若直线DF垂直平分AB，垂足为点E，连接BF，CE，且BC=2，下面四个结论：①BF=；②∠CBF=45°；③△BEC的面积=△FBC的面积；④△ECD的面积为，其中正确的结论有（ ）

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据旋转的性质得到△BCF为等腰直角三角形，故可判断①②，根据三角形的面积公式即可判断③，根据直线DF垂直平分AB可得EH是△ABC的中位线，各科求出EH的长，再根据三角形的面积公式求出△ECD的面积即可判断④.

∵把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC，

∴CB=FC，∠BCF=90°，∴△BCF为等腰直角三角形，故∠CBF=45°，②正确；

∵BC=2，∴FC=2，∴BF==，①正确；

过点E作EH⊥BD，

∵△BEC和△FBC的底都为BC，高分别为EH和FC，且EH≠FC，

∴△BEC的面积≠△FBC的面积，③错误；

∵直线DF垂直平分AB，

∴AF=BF=，∴CD=AC=2+

∵直线DF垂直平分AB，

则E为AB中点，又AC⊥BC，EH⊥BC，∴EH是△ABC的中位线，

∴EH=AC=1+，

△ECD的面积为×CD×EH=，故④正确，

故选C.