Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点E， F是边AB上一点，以BF为直径的⊙O经过点E．

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若BC＝4，cosC＝ ，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）连接OE；先证明OE∥BC,得出∠AEO＝∠ADB,再证明AD⊥BC，得出∠AEO＝90°，OE⊥AD,即可得出结论；
（2）先求出，再证明，得出对应边成比例，即可求出半径．

试题解析：（1）证明：连接OE，则OE＝OB,

∴∠1＝∠2,

∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠3,

∴∠2＝∠3，∴OE∥BC,

∴∠AEO＝∠ADB,

在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC,

∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°,

∴∠AEO＝90°，∴OE⊥AD,

∴AD是⊙O的切线.

（2）在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC,

∴

∵

在△ABD中，∠ADB＝90°，∴

设⊙O的半径为r，则AO＝6－r.

∵OE∥BC，∴△AOE∽△ABD,

∴ 即

解得

∴⊙O的半径为